MATEMATICA I ED ESERCITAZIONI

Crediti: 
9
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Fornire agli studenti i concetti di base dell'Analisi Matematica e dell'Algebra lineare.

Contenuti dell'insegnamento

1. I numeri reali. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; numeri razionali e irrazionali; intervalli, distanza. Numeri complessi. Principio di induzione.

2. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche.

3. Cenni di algebra lineare e geometria analitica nello spazio.
Spazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti, basi; matrici; applicazioni lineari; diagonalizzabilita' di una matrice; sistemi lineari; rette e piani nello spazio.

4. Successioni e serie.
Successioni e loro limiti; successioni definite per ricorrenza; serie a termini positivi e criteri per la loro convergenza.

5. Limiti. Limiti di funzioni con valori reali, unicità del limite, limiti delle restrizioni; limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni; teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone.

6. Funzioni continue. Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema degli zeri; continuità e intervalli; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass.

7. Calcolo differenziale. Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teorema di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, derivate delle funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda; studio di massimi e minimi locali col calcolo delle derivate.

8. Integrali. Partizioni di un intervallo; integrale superiore ed inferiore, Integrabilita' delle funzioni continue; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; media di una funzione integrabile; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali.

9. Equazioni differenziali.
Equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali lineari del primo ordine con coefficienti continui; equazioni differenziali lineari di ordine n con coefficienti costanti.

Programma esteso

1. I numeri reali. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; numeri razionali e irrazionali; intervalli, distanza. Numeri complessi. Principio di induzione.

2. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche.

3. Cenni di algebra lineare e geometria analitica nello spazio.
Spazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti, basi; matrici; applicazioni lineari; diagonalizzabilita' di una matrice; sistemi lineari; rette e piani nello spazio.

4. Successioni e serie.
Successioni e loro limiti; successioni definite per ricorrenza; serie a termini positivi e criteri per la loro convergenza.

5. Limiti. Limiti di funzioni con valori reali, unicità del limite, limiti delle restrizioni; limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni; teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone.

6. Funzioni continue. Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema degli zeri; continuità e intervalli; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass.

7. Calcolo differenziale. Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teorema di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, derivate delle funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda; studio di massimi e minimi locali col calcolo delle derivate.

8. Integrali. Partizioni di un intervallo; integrale superiore ed inferiore, Integrabilita' delle funzioni continue; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; media di una funzione integrabile; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali.

9. Equazioni differenziali.
Equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali lineari del primo ordine con coefficienti continui; equazioni differenziali lineari di ordine n con coefficienti costanti.

Bibliografia

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare. Seconda edizione. Zanichelli, 2004

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.
Durante le lezioni verranno presentati i concetti base dell'analisi matematica per funzioni di una sola variabile, i principali risultati sulle successioni e
serie numeriche, le basi dell'algebra lineare e delle equazioni differenziali ordinarie
Le esercitazioni hanno lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso la
valutazione di una prova scritta e di una prova orale in date differenti.
Nella prova scritta, verranno assegnati alcuni esercizi che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici
visti durante il corso in alcuni casi concreti.
La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni e l'acquisizione di un linguaggio specifico.